WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI METODĄ WAHADŁA TORSYJNEGO

Mariusz Bujny, Maciej Skarysz - kl. 2d

BUDOWA MODELU

Skonstruowany przez uczniów model do pomiaru momentu bezwładności

	Podstawka, na której umieszczone zostaje badane ciało z podziałką do odczytywania współrzędnych
	Pręt – przenoszenie momentu siły na sprężynę
	Łożyska – zmniejszenie wpływu tarcia pomiędzy prętem a mocowaniem
	Sprężyna – zapewnienie ruchu o charakterze oscylacyjnym
	Układ elektroniczny do automatycznego obliczania za pomocą komputera

AUTOMATYZACJA ODCZYTYWANIA WYNIKU

Czujnik kontaktronowy – przesyła informacje o przejściu magnesu co pół okresu wahań
Układ elektroniczny klawiatury – sygnał z czujnika zostaje przesłany do klawiatury jako sygnał naciśnięcia klawisza Num Lock
Własnoręcznie napisany program do pomiarów – oblicza okres wahań, na tej podstawie wyznacza moment bezwładności oraz położenia środka masy ciała badanego

PREZENTOWANE PRAWA I ZJAWISKA FIZYCZNE

Zasada Zachowania Energii – ze względu na charakter ruchu mamy tu do czynienia z ciągłymi przemianami energii:
Tłumienie wahań – amplituda drgań wahadła torsyjnego, jakim jest nasz stolik balansowy wyraźnie maleje na skutek występowania sił tarcia i lepkości wewnątrz łożysk, łączących pręt z podstawką
Okres drgań wahadła torsyjnego – przedstawiany za pomocą równania:
Gdzie D oznacza moment kierujący charakterystyczny dla naszego stolika balansowego, powiązany w pewien sposób z modułem sztywności.
Twierdzenie Steinera – określa moment bezwładności ciała względem dowolnej osi, gdy znany jest moment bezwładności względem osi do niej równoległej przechodzącej przez środek masy ciała i odległość tego środka masy od danej osi

WSTĘP TEORETYCZNY DO POMIARU MOMENTU BEZWŁADNOŚCI I POŁOŻENIA ŚRODKA MASY CIAŁA

POMIAR MOMENTU BEZWŁADNOŚCI

Jak już mówiliśmy, okres drgań naszego wahadła możemy obliczyć wzorem:

Aby jednak znając Tx obliczyć stąd Jx, będziemy potrzebowali wartości D. W tym celu wykonujemy kalibrację poprzez zmierzenie okresu drgań pustej tarczy (moment bezwładności J0) i okresu drgań tarczy z ciałem wzorcowym o momencie bezwładności obliczonym teoretycznie Jm.
Dla pustej tarczy:

Z ciałem wzorcowym:

Po przekształceniach otrzymujemy:

Rozpiszmy teraz równanie czasu dla dowolnego ciała znajdującego się na tarczy i podstawmy odpowiednie wzory:

Co po dokonaniu kalibracji (wyznaczeniu momentu kierującego D) pozwala nam już z dowolnego okresu obliczyć moment bezwładności ciała znajdującego się na tarczy...

POMIAR POŁOŻENIA ŚRODKA MASY

Okazuje się, że bazując na zmianie momentu bezwładności w miarę zmiany położenia danego ciała na tarczy można obliczyć położenie jego środka masy względem pewnego obranego układu odniesienia. Przeanalizujmy sytuację na rysunku, gdy przesuwamy ciało wzdłuż osi x:

Budujemy dodatkowy układ odniesienia, w którym środek masy klocka ma współrzędne (x0, y0):

Z tw. Pitagorasa:

Z tw. Steinera:

Po odpowiednim przekształceniu:

Jak widać wyraźnie, zależność Jx(lx) jest parabolą, a ponieważ m>0, to ma ona w pewnym miejscu minimum. Jak nietrudno się domyślić, najmniejszy moment bezwładności zostanie otrzymany w sytuacji na rysunku po prawej, gdy środek masy ciała znajdzie się w takim układzie współrzędnych nad środkiem masy tarczy. Wtedy będziemy mieli:

Potrzebujemy zatem dokładnego wzoru paraboli Jx(lx), by znaleźć minimum. W tym celu badamy trzy pozycje ciała: Będą one współrzędnymi odpowiednich punktów A, B, C na naszej krzywej danych równaniami:

Znając odpowiednie J i l, obliczamy metodą wyznaczników współczynniki a oraz b:

A następnie l dla minimum naszej paraboli oraz ostatecznie x:

W ten sposób poprzez badanie kolejnym kierunków przesuwania ciała wyznaczamy wszystkie współrzędne środka masy.

NIEPEWNOŚCI POMIAROWE

Podczas prób pomiarów z naszą zabawką udało nam się wyróżnić kilka czynników, które według nas mają największy wpływ na uzyskiwane w pomiarach niepewności. Są to:

Tarcia na łożyskach, które odpowiadają za zmniejszanie się amplitudy wychylenia podstawki z położenia równowagi, a także nieco zwiększają uzyskiwany okres
Niedoskonałości sprężyny (niejednolicie rozłożony współczynnik sprężystości, zanieczyszczenia, itp..) – tutaj skutek może być różny w zależności od rodzaju skazy sprężyny, może to być zmienny współczynnik sprężystości, inny przy rozciąganiu, a inny przy skręcaniu sprężyny, co zmienia nam wartośc współczynnika D w zależności od kierunku ruchu, mogą to być także mikrouszkodzenia, które będą nam zmieniać D w zależności od czasu
Niedoskonałe wypoziomowanie podstawki – wpływ siły grawitacji – powstaje dodatkowy moment siły, a także dodatkowa energia, która jest magazynowana i pośrednio mierzona przez urządzenie, zmieni się z tego powodu uzyskiwany okres, wpływ na tarcia wewnętrzne układu oceniamy jako niewielki
Przesunięcia ciała na podstawce – oczywista zmiana wyniku spowodowana zmianą osi, względem której mierzymy moment bezwładności
Błędy przybliżeń metody i pomiaru

BIBLIOGRAFIA

H. Szydłowski „Pracownia fizyczna”, wyd. naukowe PWN
Portal wikipedia.pl
mechanima.upb.de/Geschichte/

WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI BRYŁ PŁASKICH METODĄ NUMERYCZNĄ

OBSŁUGA PROGRAMU

Uruchamiamy program „Bezwładność v0.1” – na ekranie wyświetla się następujące okno programu:

Następnie klikamy przycisk „Wczytaj obraz” i wybieramy zdjęcie przedmiotu, którego moment bezwładności chcemy obliczyć. Ważne jest, aby zdjęcie było wykonane na jasnej powierzchni, a przedmiot był znacznie ciemniejszy od otoczenia (np. czarny przedmiot na białej kartce) - tak dobrany układ ułatwia rozpoznawanie obiektu na późniejszym etapie pomiaru momentu bezwładności. Zdjęcia (pliki graficzne, które równie dobrze możemy sporządzić samodzielnie w dowolnym programie graficznym) mogą być formatu „.bmp” lub „.jpg”.

Po wczytaniu wybranego pliku, program wyświetli zdjęcie w rubryce „Obraz”:

Kolejnym krokiem jest „wykrycie obiektu”. Dobieramy odpowiednią „czułość wykrywania obiektu”, klikając po każdym przesunięciu paska przycisk „Wykrywaj obiekt”. Na ekranie pojawiają się także 2 czerwone linie, styczne do najbardziej wysuniętych, charakterystycznych punktów obiektu. Aby właściwie oszacować moment bezwładności niezbędne jest dobranie „właściwych proporcji” obrazu do rzeczywistego obiektu. Zmierzona odległość między liniami na „rzeczywistym obiekcie” umożliwi rozpoznanie wymiarów przedmiotu.

Gdy wykryty obraz będzie w największym stopniu odpowiadał rzeczywistemu kształtowi badanego obiektu, przystępujemy do wyboru osi, względem której chcemy obliczyć moment bezwładności. W tym celu, w rubryce „Rodzaj osi” wybieramy odpowiednią opcję i zatwierdzamy przyciskiem „Wybierz”, a następnie klikamy na obrazie punkt, przez który ma przechodzić wybrana oś:

Na zakończenie, uzupełniamy niezbędne do obliczenia momentu bezwładności dane: masę bryły, oraz wzorcową odległość (między czerwonymi liniami), a następnie klikamy przycisk „Oblicz moment bezwładności”. W oknie „Wynik” wyświetla się wartość liczbowa momentu bezwładności badanej bryły w [kg*m^2]:

DOWNLOAD

Pobierz program "Bezwładność v0.1"