Wyznaczanie gęstości struny metodą oscyloskopową

Mateusz Mąka, Łukasz Marczyk, Wacław Banasik - klasa 2d - rok szkolny 2008/2009


1. Cele doświadczenia i wyprowadzenie wzoru na gęstość liniową struny.


Celem naszego doświadczenia jest wyznaczenie gęstości liniowej (czyli stosunku masy struny do jej długości) struny. Mamy do dyspozycji strunę, która możemy poddawać różnym naprężeniom, przystawkę gitarową wraz z komputerem posiadającym oscyloskop dzięki czemu możemy mierzyć częstotliwość drgań struny.

Wyznaczymy wzór opisujący zależność między częstotliwością f drgań struny, siłą naprężającą F, gęstością liniową y, i długością struny l, posługując się metodą analizy wymiarowej.

Zakładamy więc, że wzór ten ma postać:

gdzie A to bezwymiarowa stała i szukamy takich a,b,x by jednostka się zgadzała:






Ostateczny wzór ma więc postać:


Zauważmy, że wyrażenie pod pierwiastkiem ma wymiar prędkości - [m/s]. Jest to prędkość rozchodzenia się fali w strunie. Jednocześnie wiemy że ta prędkość jest iloczynem długości fali i częstotliwości czyli:

Wyznaczając f z tego wzoru i przyrównując z wcześniejszym wzorem otrzymujemy:

Wiemy, że długość fali jest równa 2*l.

Wyznaczając A z powyższego równania otrzymujemy:

Ostatecznie wzór na f ma postać:


Wzór ten możemy przekształcić do postaci:

Z którego wynika że częstotliwość kwadrat zależy liniowo od siły naprężającej.

2. Zestaw doświadczalny:


3. Przykładowy pomiar częstotliwości dla siły naprężającej ok 50N:



Powyższe zdjęcie wykonane w programie OSCYLOSKOP pozwala nam na wyznaczenie okresu fali dzięki czemu możemy obliczyć jej częstotliwość. Dla przykładu ze zdjęcia odczytać można okres fali, dzięki podanej w OSCYLOSKOPIE podziałce 5ms/dz Pomiarów takich wykonaliśmy kilkanaście.

4. Wyniki naszych badań:



Wykres zależności kwadratu częstotliwości od siły naprężającej:

Z czego wynika, że współczynnik kierunkowy prostej wynosi:


Wyznaczona przez nas wartość gęstości liniowej wynosi:

5. Sprawdzenie poprawności naszych obliczeń.


Dla sprawdzenia poprawności naszych obliczeń zważyliśmy użytą przez nas w doświadczeniu strunę, co pozwoliło nam obliczyć gęstość liniową struny w tradycyjny sposób i porównać otrzymane wyniki:

,gdzie


Masę naszej struny oznaczyliśmy poprzez zważenie jej na wadze szalkowej, co przedstawiają poniższe fotografie:



Następnie oznaczyliśmy długość struny która wyniosła:


Po podstawieniu danych:


Jak widzimy otrzymany wynik różni się od wyniku otrzymanego w doświadczeniu. Może być to spowodowane masą odważników użytych w doświadczeniu-maksymalnie 5kg, co uniemożliwiło otrzymanie większych naprężeń struny.